문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 불완전성 정리 (문단 편집) === [[철학]] === > 수학 기초론에 관한 지난 수십 년 동안의 연구 성과는 비단 그 자체로 흥미로울 뿐 아니라, 수학의 본성 같은 전통적인 철학적 문제들에 시사하는 바에 있어서도 흥미롭다고 봅니다.[* Research in the foundations of mathematics during the past few decades has produced some results which seem to me of interest, not only in themselves, but also with regard to their implications for the traditional philosophical problems about the nature of mathematics.] > ------ > 쿠르트 괴델, 1951년 Gibbs 강연 '수학 기초론의 몇몇 기본적 정리들과 그 함축' 中 불완전성 정리에 대한 잘못된 해석 한 가지는 "[[참]]도 [[거짓]]도 아닌 수학적 명제가 있다"는 것이 불완전성 정리를 통해 증명되었다는 것이다. 이 해석이 잘못된 이유는 '''참임에도 불구하고''' 증명이 불가능한 명제 [math(G)]가 있다는 것이 바로 제1정리이기 때문이다. 참도 거짓도 아닌 명제, 참이면서 동시에 거짓인 명제 등을 인정하는 비고전 [[논리학]]이 존재하는 것은 분명하지만, 이는 불완전성 정리로부터 곧장 따라나오는 것이 결코 아니다. [[수학철학]]에서 [[쿠르트 괴델]] 본인은 오히려 [[플라톤]]의 견해를 그대로 받아들였다고 해도 과언이 아닐 정도의 강경한 실재론을 옹호했다. 즉 우리가 원리적으로 알 수 있건 없건 수학적 명제의 참거짓은 객관적으로 존재한다는 것. 괴델은 오히려 1951년 Gibbs 강연에서 (특정 조건이 만족된다는 가정 하에서) 불완전성 정리는 오히려 수학적 참이 객관적이라는 근거가 된다는 논변을 제안하기도 했다. 제2불완전성 정리가 확실히 직격한 수학 기초론은 [[다비트 힐베르트]]의 이른바 '힐베르트 프로그램'이다. 왜냐면 힐베르트 프로그램의 핵심은 형식화된 수학 이론의 무모순성을 유한한 절차에 의거하여 증명하려는데 있었기 때문이다. 괴델은 힐베르트학파 수학자들의 맹렬한 반론을 예상하여 이에 대응하기 위한 후속 논문을 불완전성 정리를 발표하는 논문에서 이미 예고했으나, 힐베르트 및 그 제자들은 불완전성 정리에 아무런 반론을 제기하지 않았으며, 이 때문에 예고했던 후속 논문은 나오지 않았다. 힐베르트는 그 대신 '유한한 절차'에 대한 제한조건을 일부 포기하고 초한귀납법을 받아들임으로써 불완전성 정리의 장벽을 우회하려고 시도했으며, 이러한 무모순성 증명은 힐베르트의 조수였던 게르하르트 겐첸에 의해 달성되었다. 힐베르트 학파 측에서 '유한한 절차'라는 말을 엄밀하게 정의한 적이 없기에 겐첸의 무모순성 증명이 갖는 의의에 대해서는 철학사적 논쟁이 분분하지만, 당대의 많은 논리학자들은 초한귀납법을 통한 증명으로는 힐베르트 프로그램의 철학적 목표를 달성할 수 없다고 진단했다. [[고틀로프 프레게]]와 [[버트런드 러셀]], 그리고 [[논리 실증주의|논리 실증주의자]]들이 개진했던 논리주의 프로그램 또한 불완전성 정리 등장 이후 대대적인 수정이 불가피하게 되었다. 루돌프 카르납은 괴델 본인이 제안한 철학적 비판에 맞서 [[1930년대]] 이후 많은 이론적 수정을 가해야했으며, [[1980년대]] 이후 진행되는 신논리주의 프로그램은 아예 고전적 논리주의의 여러 전제들을 포기하고 진행중이다. [[심리철학]]에서 불완전성 정리가 언급되는 유명한 떡밥은 다음과 같다: > 불완전성 정리에 따르면 기계적인 절차에 근거하여 참을 보일 수 없는 명제가 있다. 그런데 우리 인간은 그 참을 보일 수 있다. 따라서 인간의 마음은 계산 기계가 아니다. 괴델 자신 또한 그 가능성을 지나가면서 언급한 적은 있으나, 현대에도 이런 떡밥을 꾸준히 대중적으로 미는 학자로는 [[로저 펜로즈]]가 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기